Question

【题目】已知函数f(x)满足：①对于任意实数x，y都有f(x＋y)＋1＝f(x)＋f(x)且f()＝0；②当x＞时，f(x)＜0.

(1)求证：f(x)＝＋f(2x)；

(2)用数学归纳法证明：当x∈[，](n∈N*)时， f(x)≤1－.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）令y＝x，可得f(x)＝＋f(2x)．

（2）根据数学归纳法的证明步骤，即可证明结论。

试题证明：　(1)令y＝x，可得f(2x)＋1＝f(x)＋f(x)，

所以f(x)＝＋f(2x)．

(2)①当n＝1时，x∈[，]，

则2x∈[，1]，所以f(2x)≤0，

又f(2x)＋1＝2f(x)，所以f(x)＝＋f(2x)≤＝1－，

所以当n＝1时命题成立；

②假设n＝k时命题成立，即当x∈[，](k∈N*)时，f(x)≤1－，

则当n＝k＋1时，x∈[，]，2x∈[，]，则

f(x)＝＋f(2x)≤＋－

＝1－，

当n＝k＋1时命题成立．

综上①②可知，当x∈[，](n∈N*)时，

f(x)≤1－.