Question

【题目】已知函数f（x）=loga（a＞0且a≠1）．

（1）求f（x）的定义域；

（2）当0＜a＜1时，判断f（x）在（2，+∞）的单惆性；

（3）是否存在实数a，使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+logan，1+1ogam]，若存在，求出实数a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析；（3）存在这样的实数a∈（0，）符合题意.

【解析】

（1）由对数式的真数大于0求解函数的定义域；

（2）利用分离常数法判断真数的单调性，再由复合函数的单调性得答案；

（3）把的定义域为，时值域为，转化为在上为减函数，进一步得到在上有两个互异实根，令，转化为关于的不等式组求解．

（1）由＞0，得x＜-2或x＞2．

∴f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞）；

（2）令t（x）==1-，t（x）在（2，+∞）上为增函数，

又0＜a＜1，

∴f（x）在（2，+∞）上为减函数；

（3）假设存在这样的实数a，使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+logan，1+1ogam]，

由m＜n且1+logan，1+1ogam，

即m＜n1+logan，1+1ogam，可得0＜a＜1．

t（x）=1-在（2，+∞）上为增函数，

又∵0＜a＜1，

∴f（x）在（2，+∞）上为减函数，

∴，

∴，即在（2，+∞）上有两个互异实根，

令g（x）=ax2+（2a-1）x+2，

则，解得0＜a＜．

又∵0＜a＜1，故存在这样的实数a∈（0，）符合题意．