Question

【题目】设函数，．

（）当时，求曲线在点处的切线方程．

（）求函数单调区间和极值点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，的单调增区间为，无极值，当时，的单调增区间是和，单调减区间为，极大值为，极小值为．

【解析】试题分析：（1）当时，，,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，结合函数的单调性，可得函数的极值点.

试题解析：（）当时，，，∴，，∴曲线在点处的切线方程为，即．

（）由得，

当时，，在上是单调递增，无极值，

当时，令得或，令，得，∴在和上单调递增，在上单调递减，∴在时取得极大值，， 在时取得极小值，，综上所述，当时，的单调增区间为，无极值，当时，的单调增区间是和，单调减区间为，极大值为，极小值为．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.