Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）求函数的极值；

（3）若函数在区间上是增函数，试确定的取值范围．

【答案】（1）；（2）当时， 恒成立， 不存在极值．当时，

有极小值无极大值．（3）．

【解析】试题分析：

（1）当时，求得，得到的值，即可求解切线方程.

（2）由定义域为，求得，分和时分类讨论得出函数的单调区间，即可求解函数的极值．

（3）根据题意在上递增，得对恒成立，进而求解实数的取值范围．

试题解析：

（1）当时， ， ，

，又，∴切线方程为.

（2）定义域为， ，当时， 恒成立， 不存在极值．

当时，令，得，当时， ；当时， ，

所以当时， 有极小值无极大值．

（3）∵在上递增，∴对恒成立，即恒成立，∴．

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)考查数形结合思想的应用．

【题型】解答题
【结束】
22

【题目】已知圆： 和点， 是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点， 的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）点是曲线与轴正半轴的交点，直线交于、两点，直线， 的斜率分别是， ，若，求：①的值；②面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①②.

【解析】试题分析：

（1）由圆的方程得圆心为，半径为，可得， ，

所以曲线是， 为焦点，长轴长为的椭圆，即可求解椭圆的方程；

（2）①由直线方程和椭圆的方程联立方程组，由，解得， ，根据，化简得即可解得的值；

②由题意，利用均值不等式，即可求解面积的最大值.

试题解析：

（1）圆： 的圆心为，半径为，点 在圆内， ，

所以曲线是， 为焦点，长轴长为的椭圆，

由， ，得，所以曲线的方程为．

（2）①设， ，直线： ，联立方程组得

，

由，解得， ， ，

由知

，

且，代入化简得，解得，

② （当且仅当时取等号）．

综上， 面积的最大值为.