Question

【题目】对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数，的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.

（1）求函数的所有“保值”区间.

（2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)的取值范围是.

【解析】分析：（1）由已知中“保值”区间的定义，结合函数的值域是，我们可得 ，从而函数在区间上单调递增，故有，结合 即可得到函数函数的“保值”区间；（2）由已知中“保值”区间的定义，我们分函数在区间上单调递减，和函数在区间上单调递增，两种情况分类讨论，分别将用或表示，利用二次函数配方法可得到结论.

详解：（1）因为函数的值域是，且在的最后综合讨论结果，即可得到值域是，

所以，所以，从而函数在区间上单调递增，

故有，解得.

又，所以.

所以函数的“保值”区间为.

（2）若函数存在“保值”区间，则有：

①若，此时函数在区间上单调递减，

所以，消去得，整理得.

因为，所以，即.

又，所以.

因为 ，

所以.

②若，此时函数在区间上单调递增，

所以，消去得，整理得.

因为，所以，即.

又，所以.

因为 ，

所以.

综合①、②得，函数存在“保值”区间，此时的取值范围是.