Question

【题目】已知圆的圆心为，直线.

(1)求圆心的轨迹方程；

(2)若，求直线被圆所截得弦长的最大值；

(3)若直线是圆心下方的切线，当在上变化时，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）由圆的方程，可得圆的圆心坐标为，即可得到圆心的轨迹方程；

（2）将圆的方程转化为圆的标准方程，得到圆心坐标和半径，再求得圆心到直线的距离，由圆的弦长公式，得到弦长的函数关系式，即可求解弦长的最大值；

（3）由直线与圆相切，建立与的关系，，在由点在直线的上方，去掉绝对值，将转化为二次函数求解即可.

试题解析：

（1）圆的圆心坐标为.

所以圆心的轨迹方程为.

(2)已知圆的标准方程是.

则圆心的坐标是，半径为.

直线的方程化为：，则圆心到直线的距离是，

设直线被圆所截得弦长为，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：

，

∵，∴当时，的最大值为.

(3)因为直线与圆相切，则有.

即.

又点在直线上方，∴，即，

∴，∴.

∵，∴，

∴.