Question

【题目】已知是圆上任意一点，过作轴的垂线段， 为垂足.当点在圆上运动时，线段中点的轨迹为曲线（包括点和点），为坐标原点.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）直线与曲线相切，且与圆相交于两点，当的面积最大时，试求直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或或或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设线段中点， ，则，即，代入，包括点和点，得，即得曲线的方程. （Ⅱ）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，不合题意，故设方程为，联立，得，因为直线与曲线相切，所以. 又点到直线的距离为，且，表示即得解.

试题解析：

（Ⅰ）设线段中点， ，则，即，

代入，包括点和点，

得， 曲线的方程为.

（Ⅱ）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，不合题意，故设方程为，

联立，得，

， .

又点到直线的距离为，且，

，

当即时， 的面积最大为4，

，解得， ，

此时直线有4条，方程为或.（或一般方程为：

或或或）