Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=﹣bx，其中a，b，c∈R且满足a＞b＞c，f（1）=0．
（1）证明：函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点；
（2）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，试求a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由已知f（1）=0，得：a+b+c=0，

而a＞b＞c，

∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，

∴△=4b2﹣4ac＞0；

因此函数f（x）与g（x）图象交于不同的两点；

（2）解：由题意知，F（x）=ax2+2bx+c

∴函数F（x）的图象的对称轴方程为x=﹣ ，又∵a+b+c=0

∴x= =1+ ＜1

又a＞0

∴F（x）在[2，3]单增

∴ ，

即 ，

∴

【解析】（1）由已知中二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=﹣bx，分别求出a＞0，c＜0，易根据二次方程根的个数及△的关系，得到答案．（2）由题意可得F（x）=ax2+2bx+c，我们可根据二次函数在闭区间上的最值求法，结合函数F（x）在[2，3]上的最小值是9，最大值为21，构造关于a，b的方程，解方程即可求出答案．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．