Question

【题目】定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x﹣2
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＜2的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知：f（﹣0）=﹣f（0）=f（0），f（0）=0；

当x＜0时，则﹣x＞0，

因为当x＞0时，f（x）=x﹣2，

所以f（﹣x）=﹣x﹣2，

又因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以f（﹣x）=﹣f（x），

所以f（x）=x+2，

所以f（x）的表达式为：f（x）=

（2）解：x＜0时，x+2＜2，∴x＜0；

x=0，符合题意；

x＞0时，x﹣2＜2，∴x＜4，∴0＜x＜4．

∴不等式的解集为（﹣∞，4）

【解析】（1）先根据f（x）是定义在R上的奇函数，得到f（0）=0，再设x＜0时，则﹣x＞0，结合题意得到f（﹣x）=﹣x﹣2，然后利用函数的奇偶性进行化简，进而得到函数的解析式．（2）利用（1）的结论，即可求不等式f（x）＜2的解集．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．