Question

【题目】如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线,分别与圆交于,两点．

（Ⅰ）若,，求的面积；

（Ⅱ）若直线过点，证明：为定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）证明见解析，．

【解析】

试题分析：（I）由题意，得出直线的方程为，直线的方程为，由中位线定理，得，由此可求解的面积；（II）当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程，利用根与系数的关系、韦达定理，即可化简得出为定值；当斜率不存在时，直线的方程为，代入圆的方程可得：，，即可得到为定值．

试题解析：（Ⅰ）由题知，所以，为圆的直径，

的方程为，直线的方程为，

所以圆心到直线的距离，

所以，由中位线定理知，，

；

（Ⅱ）设、，

①当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程中有：

，整理得：，

则有，，

；

②当直线斜率不存在时，直线的方程为，

代入圆的方程可得：，，；

综合①②可得：为定值，此定值为．