Question

【题目】已知向量 ， ,函数的图象过点，点与其相邻的最高点的距离为.

（1）求的单调递增区间；

（2）计算；

（3）设函数，试讨论函数在区间上的零点个数.

Answer 1

【答案】(1) .(2) 2018. (3)当或时，函数在上无零点；当或时，函数在上有一个零点；当时，函数在有两个零点.

【解析】试题分析：(1)根据平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式和与辅助角公式可得,根据的图象过点，点与其相邻的最高点的距离为，确定，从而根据正弦函数的单调性可得结果;(2)根据特殊角的三角函数及周期性可得结果；（3）,函数在区间上的零点个数，即为函数的图象与直线在上的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象，几何图形可得结果.

试题解析：(1) 向量， ， 点为函数图象上的一个最高点， 点与其相邻的最高点的距离为， ， 函数图象过点， ， ， ，由，得， 的单调增区间是.

(2) 由（1）知的周期为，且， ，而.

(3) ,函数在区间上的零点个数，即为函数的图象与直线在上的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象如图所示，

由图象可知，①当或时，函数的图象与直线在上的无公共点，即函数无零点；②当与时，函数的图象与直线在上有一个公共点，即函数有一个零点；③当时，函数的图象与直线在上有两个公共点，即函数有两个零点，综上，当或时，函数在上无零点；当或时，函数在上有一个零点；当时，函数在有两个零点.