Question

【题目】已知f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=ksin（x﹣ ）（k≠0）．
（1）设f（x）的定义域为[0，3]，值域为A； g（x）的定义域为[0，3]，值域为B，且AB，求实数k的取值范围．
（2）若方程f（sinx）+sinx﹣a=0在[0，2π）上恰有两个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当x∈[0，3]时，由于f（x）=2x2﹣3x+1图象的对称轴为 ，且开口向上，

可知 ，f（x）max=f（3）=10，

所以f（x）的值域 ；

当x∈[0，3]时， ， ；所以当k＞0时，g（x）的值域 ；

所以当k＜0时，g（x）的值域 ；

又∵AB，所以 或 ；

即 k≥10或k≤﹣20；

（2）解：∵f（sinx）+sinx﹣a=0，所以2sin2x﹣2sinx+1﹣a=0在x∈[0，2π）上恰有两个解，…

设t=sinx，则t∈[﹣1，1]，令h（t）=2t2﹣2t+1﹣a，

①当t∈（﹣1，1）时，由题意h（t）=0恰有一个解或者有两个相等的解，

即h（﹣1）h（﹣1）＜0或△=4﹣8（1﹣a）=0，即1＜a＜5或

②若t=﹣1是方程2t2﹣2t+1﹣a=0的一个根，此时a=5，且方程的另一个根为t=2，于是sinx=﹣1或sinx=2，

因此 ，不符合题意，故a=5（舍）；

③若t=1是方程2t2﹣2t+1﹣a=0的一个根，此时a=1，且方程的另一个根为t=0，于是sinx=1或sinx=0，

因此x=0或 或π，不符合题意，故a=1（舍）；

综上，a的取值范围是1＜a＜5或 ．

【解析】（1）根据二次函数和正弦函数的图象与性质，分别求出f（x）、g（x）在区间[0，3]上的最值即得值域A、B；再根据AB求出k的取值范围；（2）根据f（sinx）+sinx﹣a=0在x∈[0，2π）上恰有两个解，利用换元法设t=sinx，t∈[﹣1，1]，构造函数h（t）=2t2﹣2t+1﹣a，讨论t的取值范围，从而求出实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．