Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，为中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，，的交点记为，求证平面；

（3）在（2）的条件下求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质可得，根据菱形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得面，根据面面垂直的判定定理可得结果；（2）由，为中点，可得，由（1）知，利用线面垂直的判定定理可得结论；（3）先证明面，则，利用棱锥的体积公式可得结果.

试题解析：（1）设，连结，

∴，为中点，

∴，

又∵底面为菱形，

∴，

∵，

∴面，

又∵面，

∴面面．

（2）∵，为中点，

∴，

又∵，，

∴面．

（3）过作于，

∴，

又∵面，

面，

∴

．

【方法点晴】本题主要考线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及利用等积变换求棱锥体积，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.