Question

【题目】设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）如果对所有的，都有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增.（2）

【解析】试题分析：

（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间；

（2）不等式恒成立，可以变形为恒成立，因此只要求出的最大值，由最大值小于或等于0可得，也要可变形为，只要求得的最大值即可，这些最值可通过导数知识进行求解．

试题解析：

（1）的定义域为， ，

当时， ，当时， ，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）法一：设，则，

因为，所以.

（i）当时， ， ，所以在上单调递减，而，

所以对所有的， ，即；

（ii）当时， ，若，则， 单调递增，

而，所以当时， ，即；

（iii）当时， ， ，所以在单调递增，而，

所以对所有的， ，即；

综上， 的取值范围是.

法二：当时， ，

令，则，

令，则，当时， ，

于是在上为减函数，从而，因此，

于是在上为减函数，所以当时有最大值，

故，即的取值范围是.