Question

【题目】在正三棱柱中， ， ，点为的中点.

（I）求证： ；

（II）若点为上的点，且满足，若二面角的余弦值为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）连接交于，则为的中点连接，则，由此能证明平面.
（Ⅱ）过作 于，则 平面，过作 ，垂足为，连，则为二面角的一个平面角.由此利用二面角的余弦值为余弦值为，可求实数的值.

试题解析：（Ⅰ）证明，连接交于，则为的中点

连接，则，而平面

所以平面；

（Ⅱ）方法一：过作 于，则 平面，过作 ，垂足为，连，则 ，所以为二面角的一个平面角.

设，则，所以，所以

因为， 所以

故

因，故，解得

此时， 点为的中点，所以

方法二：建立如图所示空间直角坐标系，过作于，则平面，设，则， ， ，所以，

依题意为平面的一个法向量，

设为平面一个法向量，

则由可得

所以解得，所以