Question

【题目】如图,在四棱锥中,是等腰三角形,且.四边形是直角梯形,,,,,.

（Ⅰ）求证:平面;

（Ⅱ）当平面 平面时,求四棱锥的体积;

（Ⅲ）请在图中所给的五个点中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线垂直,并给出证明.

Answer 1

【答案】(1)见解析； （2） ； （3）见解析.

【解析】

（Ⅰ）由已知AB∥DC，直接利用线面平行的判定证明AB∥平面PDC；（Ⅱ）取BC中点D，由

PB=PC，可得PD⊥BC，结合面面垂直的性质可得PD⊥平面ABCD，则PD为四棱锥P﹣ABCD的

高，求出底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅲ）图中PA

⊥BC．由（Ⅱ）知，PD⊥BC，作CG⊥AB，在直角三角形CGB中，可得cos，再求

解三角形可得AD⊥BC，由线面垂直的判定可得BC⊥平面PAD，从而得到PA⊥BC．

（Ⅰ）证明：∵AB∥DC，且DC平面PDC，AB平面PDC，

∴AB∥平面PDC；

（Ⅱ）解：取BC中点D，∵PB=PC，∴PD⊥BC，

又平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD=BC，

∴PD⊥平面ABCD，则PD为四棱锥P﹣ABCD的高，

在底面直角梯形ABCD中，由AB=5，AD=4，DC=3，

得，且BC=．

又PB=PC=3，∴PD=．

∴；

（Ⅲ）解：图中PA⊥BC．

证明如下：由（Ⅱ）知，PD⊥BC，

作CG⊥AB，在直角三角形CGB中，可得cos，

在三角形ADB中，由余弦定理可得，

则AD2+BD2=AB2，

∴AD⊥BC，

又AD∩PD=D，∴BC⊥平面PAD，则PA⊥BC．