【题目】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

（Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；

年入流量

发电机最多可运行台数

1

2

3

若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

参考答案：

【答案】（Ⅰ）根据题意先分别计算的概率，再根据二项分布原理计算年、和年年入流量超过的概率即可；（Ⅱ）分别计算安装台、台、台发电机时水电站利润的均值，比较它们的大小，可得到应安装台发电机.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）；（Ⅱ）台.

试题解析：（Ⅰ）依题意,,

,由二项分布，在未来年中至少有年流入量超过的概率为：

.

（Ⅱ）记水电站总利润为（单位：万元），由于水库年入流量总大于，所以至少安装台.

①安装台发电机的情形：

由于水库处入流量总大于，所以一台发电机运行的概率为，

对应的年利润为，，

②安装台发电机的情形：

当时，一台发电机运算，此时，所以

；

当，两台发电机运行，此时，

因此，

此时的分布列如下：

.

③ ②安装台发电机的情形：

当时，一台发电机运算，此时，所以

；

当时，两台发电机运行，此时，

此时；

当时，三台发电机运行，此时，

此时，所以的分布列如下：

所以

综上，欲使水电站年利润的均值达到最大值，应安装台发电机.

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