Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数在其定义域上为单调增函数，求的取值范围；

（2）记的导函数为，当时，证明：存在极小值点，且.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】分析：（1）函数在上为单调增函数，等价于对任意恒成立，对任意恒成立，只需，，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数最大值，从而可得结果；（2）由（1）得，其中，，，

∵，∴与同号，令，，存在，使得，是的极小值点，.

详解：（1）依题意函数的定义域为且函数在上为单调增函数，

所以 对任意恒成立，

∴对任意恒成立，

∴对任意恒成立，

∴，，

令，，

∴，

∴当时，，为增函数；当时，，为减函数，

∴当时，，

∴，即的取值范围是.

（2）由（1）得，其中，，

∴，

∵，∴与同号，

令，，

∴ ，

∴当时，，即函数在上单调递增，

∵，∴，，

∴存在，使得，

∴当时，，，是减函数，

∴当时，，，是增函数，

∴当时，存在，使是的极小值点.

又由得，

所以，，

所以.