Question

【题目】已知正三棱锥P﹣ABC中E，F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积（ ）
A.4π
B.6π
C.8π
D.12π

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵E、F分别是AC，PC的中点，∴EF∥PA，
∵P﹣ABC是正三棱锥，∴PA⊥BC（对棱垂直），
∴EF⊥BC，又EF⊥BF，且BF∩BC=B，
∴EF⊥平面PBC，∴PA⊥平面PBC，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，
以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，
将此三棱锥补成正方体，如图所示：
∵三棱锥和正方体有相同的外接球，
∴正方体的体对角线就是外接球的直径，
又AB=2，∴PA= ，∴2R= ，则R= ，
∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为：4πR2=4π× =6π，
故选B．