Question

【题目】点P是椭圆 上的一点，F1和F2是焦点，且 ，则△F1PF2的周长为 ， △F1PF2的面积为 ．

Answer 1

【答案】6；
【解析】解：由椭圆 ，a=2，b= ，c=1， 由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4，
△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6，
∴△F1PF2的周长为6，
方法一：将|PF1|+|PF2|=2a=4，两边平方，得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16，（1）
在△F1PF2中，由|F1F2|=2c，∠F1PF2=60°，
由余弦定理，得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=4
即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4，（2）
·（1）﹣（2），得：3|PF1||PF2|=12，
∴|PF1||PF2|=4．
∴△F1PF2的面积S= |PF1||PF2|sin60°= ×4× = ，
方法二：设∠F1PF2=θ，由焦点三角形的面积公式可知：S=b2 =b2tan =3×tan30°=3× = ，
所以答案是：6， ，