Question

【题目】已知F1 ， F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵△ABF2是正三角形， ∴∠AF2B=60°，
∵直线AB与椭圆长轴垂直，
∴F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1= ×60°=30°，
Rt△AF2F1中，设|AF1|=m，sin30°= ，
∴|AF2|=2m，|F1F2|=
因此，椭圆的长轴2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c= m
∴椭圆的离心率为e= = ．
故答案为：

根据△ABF2是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=30°．在Rt△AF2F1中，设|AF1|=m，可得 ，所以|AF2|=2m，用勾股定理算出|F1F2|= m，得到椭圆的长轴2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c= m，所以椭圆的离心率为e= = ．