Question

【题目】已知△ABC，若存在△A1B1C1 ， 满足 = = =1，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（请写出符合要求的条件的序号） ①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°；④A=75°，B=65°，C=45°．

Answer 1

【答案】②
【解析】解：①项，A=90°，cosA=0=sinA1 ， A1=180°或0，不满足三角形内角和为180°的条件，故①项不符合条件； ②项，cosC=cos45°=sinC1 ， 则C1=45°或135°；cosB=cos60°= =sinB1 ， 则B1=30°或150°，
又三角形内角和为180°，
∴△A1B1C1可能的组合是： 或 ，
第一种情况A1=105°时，cosA=cos75°≠sin105°，这种情况不符合题意；
当第二种情况A1=15°，满足满足cosA=cos75°=sin15°，故②项符合条件；
③项，cosC=cos30°=sinC1 ， 则C1=60°或120°，又A=B=75°，
∴A1=B1 ，
当C1=60时，A1=B1=C1=60°，
≠ ，即 ≠ ，不符合题意；
当C1=120°时，A1=B1=30°，则 ≠ ，即 ≠ ，故③项不符合条件；
由A+B+C≠180°，不能构成三角形，故④项不符合条件；
所以答案是：②