Question

【题目】已知函数f（x）=|x2﹣1|﹣2a+3，下列五个结论：
①当 时，函数f（x）没有零点；
②当 时，函数f（x）有两个零点；
③当 时，函数f（x）有四个零点；
④当a=2时，函数f（x）有三个零点；
⑤当a＞2时，函数f（x）有两个零点．
其中正确的结论的序号是 ． （填上所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①②③④⑤
【解析】解：∵f（x）=|x2﹣1|﹣2a+3，∴由f（x）=0，得|x2﹣1|=2a﹣3，
①当 时，∵2a﹣3＜0，|x2﹣1|≥0，
∴|x2﹣1|=2a﹣3无解，
∴当 时，函数f（x）没有零点，故①正确；
②当a= 时，2a﹣3=0，|x2﹣1|≥0，
∴由|x2﹣1|=2a﹣3，得|x2﹣1|=0，解得x=±1，
∴当 时，函数f（x）有两个零点，故②正确；
③当 时，0＜2a﹣3＜1，则|x2﹣1|=2a﹣3，
解得x=± ，或x=± ，
∴当 时，函数f（x）有四个零点，故③正确；
④当a=2时，2a﹣3=1，
由|x2﹣1|=2a﹣3，得|x2﹣1|=1，解得x=0，或x=± ．
∴当a=2时，函数f（x）有三个零点，故④正确；
⑤当a＞2时，2a﹣3＞1，则|x2﹣1|=2a﹣3，
解得x=± ．
∴当a＞2时，函数f（x）有两个零点，故⑤正确．
所以答案是：①②③④⑤．
【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用和函数的零点的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能正确解答此题．