Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC

（1）求证：A，B，C，P四点共圆；
（2）若∠CAD= ，AB=1，求四边形ABCP的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AC=AD，AH⊥CD，∴∠CAD=∠DAP，

从而△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．

又AB=AD，故∠ADP=∠ABP，

从而∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四点共圆；

（2）解：由AC=AD， ，从而△ACD是边长为1的等边三角形，

又AH⊥CD，故 ．

由（1）知A，B，C，P四点共圆，又 ，故 ，

从而 ，故△ABC也是边长为1的等边三角形，

由PC⊥BC， ，得 ，

知CP，AH为等边三角形的角平分线，从而P为△ACD的中心．

故此时SABCP=S△ABC+S△ACP= ．

【解析】（1）由已知AC=AD，AH⊥CD可得△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．再由AB=AD，得∠ADP=∠ABP，进一步得到∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四点共圆；（2）由AC=AD， ，得△ACD是边长为1的等边三角形，结合AH⊥CD，得 ．再结合A，B，C，P四点共圆， ，得 ，即△ABC也是边长为1的等边三角形，进一步得到P为△ACD的中心．可得SABCP=S△ABC+S△ACP= ．