Question

【题目】已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值；
（3）某同学发现：总存在正实数a、b（a＜b），使ab=ba ， 试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围（不需要解答过程）．

Answer 1

【答案】
（1）解：定义域为（0，+∞）， ，

令 ，则x=e，

当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	↗		↘

∴f（x）的单调增区间为（0，e）；单调减区间为（e，+∞）

（2）解：由（1）知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以，

当4a≤e时，即 时，f（x）在[2a，4a]上单调递增，∴f（x）min=f（2a）；

当2a≥e时，f（x）在[2a，4a]上单调递减，∴f（x）min=f（4a）

当2a＜e＜4a时，即 时，f（x）在[2a，e]上单调递增，f（x）在[e，4a]上单调递减，

∴f（x）min=min{f（2a），f（4a）}．

下面比较f（2a），f（4a）的大小，

∵ ，

∴若 ，则f（a）﹣f（2a）≤0，此时 ；

若 ，则f（a）﹣f（2a）＞0，此时 ；

综上得：

当0＜a≤1时， ；

当a＞1时，

（3）解：正确，a的取值范围是1＜a＜e

理由如下，考虑几何意义，即斜率，当x→+∞时，f（x）→0

又∵f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减

∴f（x）的大致图象如右图所示

∴总存在正实数a，b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），即 ，即ab=ba．

【解析】（1）先确定函数的定义域，再利用导数，可求函数f（x）的单调区间；（2）根据f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，结合函数的定义域，分类讨论，可求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值；（3）a的取值范围是1＜a＜e，利用f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，即可求得．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．