Question

【题目】已知函数.

(1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

(2)若函数在上存在两个极值点，且，证明： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由条件可知恒成立，通过参变分离的方法得到恒成立，即 转化为利用导数求函数的最大值，即求的取值范围；（2）根据条件可知， 和 ，经过变形整理为 ，经过换元，可将问题转化为证明 ，利用导数求函数的最小值，即可证明.

试题解析：(1)由函数在上是减函数，知恒成立，

.

由恒成立可知恒成立，则，

设，则，

由， 知，

函数在上递增，在上递减，∴，

∴.

(2)由(1)知.

由函数在上存在两个极值点，且，知，

则且，

联立得，即，

设，则，

要证，

只需证，只需证，只需证.

构造函数，则.

故在上递增， ，即，

所以.