Question

【题目】已知函数 ， ．

（Ⅰ）当 时， 恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）当 时，研究函数的零点个数；

（Ⅲ）求证： (参考数据： )．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)当时无零点；当时有一个公共点. (Ⅲ)见解析.

【解析】【试题分析】（1）构造函数借助导数知识运用分类整合思想分析探求；（2）构造函数运用导数知识研究函数的图像变化情况，确定函数的图像的交点的个数；（3）借助（1）、（2）的结论运用缩放的方法进行分析推证：

(Ⅰ)令则

①若，则， ， 在递增， ，即在 恒成立，满足，所以；

②若， 在递增， 且

且时， ，则使进而在递减，在递增，

所以当时，即当时， ，不满足题意，舍去；

综合①，②知的取值范围为.

(Ⅱ)依题意得，则，

则在上恒成立，故在递增，

所以，且时， ；

若，即，则，故在递减，所以，

在无零点；②若，即，则使，进而在递减，在递增， 且时， ， 在上有一个零点，在无零点，故在有一个零点.

综合①②，当时无零点；当时有一个公共点.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当时， 对恒成立，

令，则 即；

由(Ⅱ)知，当时， 对恒成立，

令，则，所以；

故有.