Question

【题目】如图所示，在中， 的中点为,且，点在的延长线上，且.固定边，在平面内移动顶点，使得圆与边，边的延长线相切，并始终与的延长线相切于点，记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴， 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设动直线交曲线于两点，且以为直径的圆经过点，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用椭圆的定义进行分析探求；（2）借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行分析求解：

（Ⅰ）依题意得，设动圆与边的延长线相切于，与边相切于， 则

所以

所以点轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点.则曲线的方程为.

由于曲线要挖去长轴两个顶点，所以直线斜率存在且不为，所以可设直线

由得,，同理可得： ,；

所以，

又，所以令，

则且，所以

又，所以，

所以，

所以，所以，

所以面积的取值范围为.

【法二】

依题意得直线斜率不为0，且直线不过椭圆的顶点，则可设直线： ，且。

设，又以为直径的圆经过点，则，所以

由得，则

且，所以

又

代入①得： ，所以，

代入②得： 恒成立所以且.

又；

点到直线的距离为，

所以

（Ⅰ）当时， ；

（Ⅱ）当且时，

，

又，当且仅当时取“”，所以，

所以，所以，

所以，所以；

综合（1），（2）知.