【题目】已知动点 P 与定点的距离和它到定直线 x 4 的距离的比是1: 2 ，记动点 P 的轨迹为曲线 E．

（1）求曲线 E 的方程；

（2）设 A 是曲线 E 上的一个点，直线 AF 交曲线 E 于另一点 B，以 AB 为边作一个平行四边形，顶点 A、B、C、D 都在轨迹 E 上，判断平行四边形 ABCD 能否为菱形，并说明理由；

（3）当平行四边形 ABCD 的面积取到最大值时，判断它的形状，并求出其最大值．

参考答案：

【答案】（1）；（2）不能是菱形；（3）矩形

【解析】试题分析：（1）将几何条件用坐标表示出来，化简即可；（2）设出直线方程，联立椭圆，得到交点坐标之间的关系，根据菱形可得对角线垂直，利用向量处理；（3）写出面积，利用换元法求其最大值，确定m的值，即可判定四边形的形状大小．

试题解析：（1）设点，由题意： 即，所以 化简得： 即为曲线E的方程

（2）直线AB不能平行于x轴，故设直线AB的方程为， ，

由得， 所以㈠①

连结OA，OB，若ABCD为菱形，则即

又，所以有

，代入①式得，无解，故ABCD不能是菱形.

（3）由题知，所以

设，

令可知当时有最小值即面积有最值，此时，即轴，所以ABCD为矩形.

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