Question

【题目】已知函数（为常数）.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为和．（2）实数的取值范围是．

【解析】试题分析：（1）先确定函数定义域，再求导函数，进而求定义区间上导函数的零点，最后列表分析导函数符号：确定单调区间,（2）恒成立问题，解决方法为转化为对应函数最值问题： 的最大值小于零，先求导数，根据导函数是否变化进行讨论：当时，单调递增，无最大值；当时，先增后减，在极值点处取最大值，不恒小于零：当时， 在上单调递减， .

试题解析：解：（Ⅰ）函数的定义域为，

当时， ，

，

由得， ，

由得， 或，

∴函数的单调增区间为，

单调减区间为和．

（Ⅱ）当时， 恒成立，

令，

问题转换为时， ．

，

①当时， ，

在上单调递增，

此时无最大值，故不合题意．

②当时，令解得， ，

此时在上单调递增，

此时无最大值，故不合题意．

③当时，令解得， ，

当时， ，

而在上单调递增，在上单调递减，

，

令， ，

则，

在上单调递增，

又，

当时， ，

在上小于或等于不恒成立，即不恒成立，

故不合题意．

当时， ，

而此时在上单调递减， ，符合题意．

综上可知，实数的取值范围是．

（也可用洛必达法则）