Question

【题目】已知函数f（x）=alnx，g（x）=x2 ． 其中x∈R．
（1）若曲线y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；
（2）若f（x）≤g（x）﹣1对任意x＞0恒成立，求实数a的值；
（3）当a＜0时，对于函数h（x）=f（x）﹣g（x）+1，记在h（x）图象上任取两点A、B连线的斜率为kAB ， 若|kAB|≥1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，依题意得：a=2；

∴曲线y=f（x）在x=1处的切线为2x﹣y﹣2=0，曲线y=g（x）在x=1处的切线方程为2x﹣y﹣1=0．

∴两直线间的距离为 =

（2）解：令h（x）=f（x）﹣g（x）+1，则

当a≤0时，注意到x＞0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，

又h（1）=0，故0＜x＜1时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）﹣1，与题设矛盾

当a＞0时，

当 ，h′（x）＞0，当 时，h′（x）＜0

∴h（x）在（0， ）上是增函数，在（ ，+∞）上是减函数，

∴h（x）≤

∵h（1）=0，又当a≠2时， 与 不符．

∴a=2．

（3）解：当a＜0时，由（2）知h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，

不妨设0＜x1≤x2，则|h（x1）﹣h（x2）|=h（x1）﹣h（x2），|x1﹣x2|=x2﹣x1，

∴|h（x1）﹣h（x2）|≥|x1﹣x2|等价于h（x1）﹣h（x2）≥x2﹣x1，即h（x1）+x1≥h（x2）+x2，

令H（x）=h（x）+x=alnx﹣x2+x+1，H（x）在（0，+∞）上是减函数，

∵ （x＞0），

∴﹣2x2+x+a≤0在x＞0时恒成立，

∴a≤（2x2﹣x）min

又x＞0时，（2x2﹣x）min=﹣

∴a≤﹣ ，

又a＜0，∴a的取值范围是

【解析】（1）求导函数，可得切线方程，利用平行线间的距离公式，可求两平行直线间的距离；（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）+1，确定其单调性，分类讨论，即可求实数a的值；（Ⅲ）|h（x1）﹣h（x2）|≥|x1﹣x2|等价于h（x1）﹣h（x2）≥x2﹣x1 ， 即h（x1）+x1≥h（x2）+x2 ， 构造H（x）=h（x）+x=alnx﹣x2+x+1，H（x）在（0，+∞）上是减函数，可得﹣2x2+x+a≤0在x＞0时恒成立，分离参数，即可求a的取值范围．．