Question

【题目】已知函数 .

（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；

（Ⅱ）若函数与图象在上有两个不同的交点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y＝2x－1. （Ⅱ）[].

【解析】【试题分析】(I)当时,求出和的值,利用点斜式求得切线方程.(II)令,化简得,构造函数,利用导数求得在区间上的极大值为,通过计算和可知在区间上的最小值为,由此可用最大值大于零,最小值不大于零列不等式组,求得的取值范围.

【试题解析】

（Ⅰ）解　当时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，

切点坐标为(1,1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2，

则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

（Ⅱ）解：由题意可得：2lnx－x2＋m=0，令h(x)＝2lnx－x2＋m，

则h′(x)＝－2x＝，

∵x∈，故h′(x)＝0时，x＝1.

当＜x＜1时，h′(x)＞0；当1＜x＜e时，h′(x)＜0.

故h(x)在x＝1处取得极大值h(1)＝m－1.

又＝m－2－，h(e)＝m＋2－e2，h(e)－＝4－e2＋＜0，

则h(e)＜，

∴h(x)在[]上的最小值为h(e)．

h(x)在[]上有两个零点的条件是,

解得1＜m≤2＋

∴实数m的取值范围是[].