Question

【题目】已知函数

若，求的单调区间；

是否存在实数a，使的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（I）单调增区间为，单调减区间为；（II）存在实数，使的最小值为0.

【解析】

根据代入函数表达式，解出，再代入原函数得，求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数的单调区间；先假设存在实数a，使的最小值为0，根据函数表达式可得真数恒成立，且真数t的最小值恰好是1，再结合二次函数的性质，可列出式子：，由此解出，从而得到存在a的值，使的最小值为0．

且，

可得函数

真数为

函数定义域为

令

可得：当时，t为关于x的增函数；

当时，t为关于x的减函数．

底数为

函数的单调增区间为，单调减区间为

设存在实数a，使的最小值为0，

由于底数为，可得真数恒成立，

且真数t的最小值恰好是1，

即a为正数，且当时，t值为1．

因此存在实数，使的最小值为0．