Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率e= ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点A，B，与圆x2+y2= 相切于点M．
（i）证明：OA⊥OB（O为坐标原点）；
（ii）设λ= ，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵2b=2，∴b=1．
又e= = ，a2=b2+c2 ，
∴a2=2．
∴椭圆C的方程为 ；
（Ⅱ）（i）∵直线l：y=kx+m与圆x2+y2= 相切，
∴ ，即 ．
由 ，消去y并整理得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则 ．
∵ ．
=
=
= ，
∴OA⊥OB．
（ii）∵直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点A，B，
∴ ， ．
∴ = = ．
由（Ⅱ）（i）知x1x2+y1y2=0，
∴x1x2=﹣y1y2 ， ，即 ．
∴ ．
∵ ，
∴λ的取值范围是
【解析】（Ⅰ）由已知得到b=1，结合e= ，即a2=b2+c2求得a2=2，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（i）由直线l：y=kx+m与圆x2+y2= 相切，可得 ，即 ．联立直线方程好椭圆方程，得到A，B横坐标的和与积，代入可得 ，得到OA⊥OB；（ii）直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点A，B，把A，B的坐标代入椭圆方程，可得 ， ．在圆中由垂径定理可得 = = ．结合x1x2+y1y2=0，得到 ．由x1 的范围求得λ的取值范围．