Question

【题目】如图，四边形中， ， ， ， ， 、分别在、上， ，现将四边形沿折起，使平面平面．

（）若，是否存在折叠后的线段上存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

（）求三棱锥的体积的最大值，并求此时点到平面的距离．

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：

(1)存在，使得平面，此时，即，利用几何关系可知四边形为平行四边形，则，利用线面平行的判断定理可知平面成立．

(2)由题意可得三棱锥的体积，由均值不等式的结论可知时，三棱锥的体积有最大值，最大值为．

建立空间直角坐标系，则，平面的法向量为，故点到平面的距离．

试题解析：

（）存在，使得平面，此时．

证明：当，此时，

过作，与交，则，

又，故，

∵， ，

∴，且，故四边形为平行四边形，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面成立．

（）∵平面平面， 平面， ，

∴平面，

∵，

∴， ， ，

故三棱锥的体积，

∴时，三棱锥的体积有最大值，最大值为．

建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ．

， ， ．

设平面的法向量为，则，

∴，取，则， ，

∴．

∴点到平面的距离．