【题目】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求斜率的值；

（Ⅲ）若（Ⅱ）中的直线与交于两点，设点在上，试探究使的面积为的点共有几个？证明你的结论.

参考答案：

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和直线和圆相切的条件,结合的关系,解方程可得,进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线方程为,代入椭圆方程,运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得斜率；（Ⅲ）求得圆心到直线的距离，圆的弦长，由三角形的面积公式可得到的距离，结合半径与圆心到直线的距离之差的关系，即可判断的个数.

试题解析：（Ⅰ）原点到直线的距离.

所以，椭圆的方程为.

（Ⅱ）将直线与椭圆联立，消去，整理得，由韦达定理得.

.

.

令，得.

（Ⅲ）由（2）知，直线的方程为或.

原点到直线的距离，弦长.

若上存在点使的面积为，则点到直线的距离

.

当直线的斜率时，有4个点使面积为；当直线的斜率时，有4个点使面积为.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

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