Question

【题目】设为数列的前项和，对任意的，都有，数列满足， .

（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）求数列的通项公式；

（3）求数列的前项和.

Answer 1

【答案】(1) 证明见解析， ；（2）；（3）.

【解析】试题分析: （1）由可得，两式相减可得数列是等比数列，进而可求求的通项公式；（2），∴，即.

∴是首项为，公差为1的等差数列，从而可得数列的通项公式；（3）有（1）、（2）可得，利用错位相减法可得结果.

试题解析:（1）当时， ，解得，

当时， ，即，

∴.

∴数列是首项为1，公比为的等比数列，即.

（2）.

∵，∴，即.

∴是首项为，公差为1的等差数列.

∴，即.

（3），则.

所以，①

则，②

②-①得，

故.

【易错点晴】本题主要考查等差数列、等比数列、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.