Question

【题目】如图，四棱锥的底面为正方形，⊥底面，分别是的中点，.

（Ⅰ）求证∥平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角；

（Ⅲ）求四棱锥的外接球的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）45°;（Ⅲ）.

【解析】试题分析：(Ⅰ)欲证∥平面；连,根据中位线可以知道 ,而不在平面内,满足定理所需条件;

(Ⅱ)关键是证明平面，找到是直线与平面所成的角;

（Ⅲ）利用补成正方体的思想，求外接球的半径.

试题解析：（Ⅰ）如图，连结，则是的中点，又是的中点，

∴.又∵平面，面

∴平面.

（Ⅱ）取的中点，连接.

在正方形中，是的中点，有.

∵平面，平面，∴，

∵，∴平面，

∴是直线在平面的射影，∴是直线与平面所成的角，

在直角三角形中，，所以.

∴直线与平面所成的角为45°.

（Ⅲ）设四棱锥的外接球半径为，，则

，即.

所以外接球的体积为.