Question

【题目】已知f（x）= （a，b为常数）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（ ）=
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数并求值域；
（3）求不等式f（2t﹣1）+f（t）＜0的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得： ，解得a=2，b=0，

∴f（x）= ．

（2）证明：设任意﹣1＜x1＜x2＜1， ，

∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0；

∵﹣1＜x1，x2＜1，∴1﹣x1x2＞0， ．

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．

∴f（x）的值域为（﹣1，1）

（3）解：∵f（2t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），

∴

【解析】（1）由题意可得： ，解得即可．（2）利用函数的单调性的定义即可证明；（3）利用函数的单调性、奇偶性即可解出．
【考点精析】通过灵活运用函数的值域和函数奇偶性的性质，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．