Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2ax+2，
（1）求实数a的取值范围，使函数y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数；
（2）若x∈[﹣5，5]，记y=f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式并判断其奇偶性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=x2+2ax+2，

∴对称轴x=﹣a，

根据二次函数的性质得出：当﹣a≤﹣5或﹣a≥5时，f（x）在[﹣5，5]上单调

∴a≥5或a≤﹣5

（2）解：对称轴x=﹣a，

当﹣a≤0，即a≥0，最大值为g（a）=f（5）=27+10a，

当﹣a＞0，即a＜0，最大值为g（a）=f（﹣5）=27﹣10a，

∴ ，

g（a）=27+|10a|，

∵g（﹣a）=g（a）

∴g（a）为偶函数

【解析】（1）对称轴x=﹣a，当﹣a≤﹣5或﹣a≥5时，f（x）在[﹣5，5]上单调（2）分类得出：当﹣a≤0，即a≥0，最大值为g（a）=f（5）=27+10a，当﹣a＞0，即a＜0，最大值为g（a）=f（﹣5）=27﹣10a，根据解析式得出奇偶性．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的奇偶性的相关知识，掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称，以及对二次函数的性质的理解，了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．