【题目】如图，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一点．

（I）求证： ．

（II）若， 分别是， 的中点，求证： 平面．

（III）若二面角的大小为，求线段的长．

参考答案：

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）先证明面可得；（2）连接交于点，根据几何知识可得可得，根据线面平行的判定定理可得平面；（3）建立空间直角坐标系，利用向量，通过计算求的长。

试题解析：（I）∵平面， 面，

∴．

∵， ，

∴中， ，

∴．

∵，

∴面．

∵面，

∴．

（II）连接交于点．

∵四边形是平行四边形，

∴是的中点．

又∵， 分别是， 的中点，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，

∴．

又平面， 面，

∴平面．

（III）∵，且平面，

∴， ， 两两垂直。

以为原点， ， ， 分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．

设，则， ， ， ，

∴， ， ．

设平面的法向量为，

故， ，

则有，令，则，

又平面的法向量为．

∵二面角的大小为，

∴，

解得，即，

，

∴．

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