Question

【题目】已知函数 ．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）为奇函数．证明如下：

∵2x+1≠0，

∴f（x）的定义域为R，

又∵ ，

∴f（x）为奇函数

（2）解： ，

任取x1、x2∈R，设x1＜x2，

∵ = = ，

∵ ，∴ ，又 , ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在其定义域R上是增函数

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义可作出判断、证明；（2） ，任取x1、x2∈R，设x1＜x2 ， 通过作差证明f（x1）＜f（x2）即可；
【考点精析】通过灵活运用函数的单调性和奇偶性与单调性的综合，掌握注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种；奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题．