Question

【题目】对于函数,若存在实数,使=成立,则称为的不动点.

⑴当时,求的不动点;

(2)当时,函数在内有两个不同的不动点,求实数的取值范围;

(3)若对于任意实数,函数恒有两个不相同的不动点,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f(x)的不动点为-1,2；（2）-4<b<4或4<b<6；（3）0<a<2.

【解析】试题分析：本题为新定义信息题，把a=2,b=-2代入后得到函数f(x)的解析式，假设存在不动点，根据不动点定义，满足，解方程求出不动点；当时,函数在内有两个不同的不动点，说明方程在区间（-2，3）内有两个不等式实数根；同理解决第三步.

试题解析：

(1)当a=2,b=-2时,f(x)=2x2-x-4

∴ 由f(x)=x得x2-x-2=0, ∴ x=-1或x=2.

∴ f(x)的不动点为-1,2.

(2) 当a=2时,f(x)=2x2+(b+1)x+b-2,

由题意得f(x)=x在(-2,3)内有两个不同的不动点,

即方程 2x2+bx+b-2=0 在(-2,3)内的两个不相等的实数根.

设 g(x)=2x2+bx+b-2,

∴ 只须满足 ∴

∴ -4<b<4或4<b<6

(3)由题意得:对于任意实数b,方程 ax2+bx+b-2=0总有两个不相等的实数解.

∴ ∴ b2-4ab+8a>0对b∈R恒成立.

∴16a2-32a<0 ∴ 0<a<2.