【题目】在平面直角坐标系中，动点到定点的距离和它到直线的距离

之比是常数，记动点的轨迹为.

（1）求轨迹的方程；

（2）过点且不与轴重合的直线，与轨迹交于,两点，线段的垂直平分线与轴交于点，与轨迹是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案：

【答案】(1)；(2)或.

【解析】

试题分析：（1）直接根据题设条件列出等式，再进行化简，即可得到动点的轨迹的方程；（2）先假设存在，并设出直线的方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理得到中点的坐标，进而表示出点的坐标，再根据点在椭圆上，可求出直线的方程.

试题解析：（1）设动点，

动点到定点的距离和它到直线的距离之比是常数，

由题意，得，

化简整理得的方程为.

轨迹的方程为. ...（3分）

（2）假设存在满足条件.依题意设直线为，

联立，消去，得，

令，，

则，，...（7分）

的中点的坐标为.

，直线的方程为，

令，解得，即. ...（9分）

、关于点对称，，，

解得，，即. ...（11分）

点在椭圆上，，

解得，，，

的方程为或. ...（13分）

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