Question

【题目】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）圆与抛物线顺次交于四点，所在的直线过焦点，线段是圆的直径，，求直线的方程..

Answer 1

【答案】（1）；（2）或..

【解析】

(1) 将代入抛物线的方程，得，结合抛物线定义可得值；

（2）由题设知与坐标轴不垂直，可设，代入，得.利用韦达定理可得的中点为及，的方程为，代入，并整理得.利用韦达定理可得的中点为及，结合勾股定理即可得到结果.

解：（1）将代入抛物线的方程，得，所以，

因为，所以，整理得，

解得或，

当时，，满足；当时，，，

所以抛物线的方程为.

（2）由题设知与坐标轴不垂直，可设，代入，得.

设，，则，，

故的中点为，.

又因为，所以的斜率为，过的中点，

所以的方程为，即.

将上式代入，并整理得.

设，，则，，故的中点为，.

因为是直径，所以垂直平分，

所以四点在同一个圆上等价于，

所以，

即，

化简得，解得或，

所以或.