Question

【题目】经过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆上不同于的一点，直线的斜率均存在，且直线的斜率之积为.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设分别为椭圆的左、右焦点，斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点.若点在以为直径的圆内部，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】试题分析: (1)先利用点差法由直线的斜率之积为 得之间关系,再解出离心率,(2)点在以为直径的圆内部，等价于，而可转化为两点横坐标和与积的关系. 将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理得两点横坐标和与积关于的关系式，代入，解不等式可得的取值范围.

试题解析:

（1）设则，∵点三点均在椭圆上，

∴， ，

∴ 作差得，

∴，

∴.

（2）设，直线的方程为，记，

∵，∴，

联立得， ，

∴，

当点在以为直径的圆内部时， ，

∴，

得，

解得.