【题目】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资类产品的收益与投资额成正比，投资类产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0．125万元和0．5万元．

（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；

（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

参考答案：

【答案】（1）f（x）＝x（x≥0），g（x）＝（x≥0）；（2）投资A类为16万元，投资B类为4万，最大3万元．

【解析】

试题分析：（1）由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；

（2）由（1）的结论，我们设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20-x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．

试题解析：（1）设两类产品的收益与投资额的函数分别为f（x）＝k1x，g（x）＝k2．

由已知得f（1）＝＝k1，g（1）＝＝k2，所以f（x）＝x（x≥0），g（x）＝（x≥0）．

（2）设投资类产品为x万元，则投资类产品为（20－x）万元．

依题意得y＝f（x）＋g（20－x）＝＋（0≤x≤20）．

令t＝（0≤t≤2），则y＝＋t＝－（t－2）2＋3，

所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元．

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