Question

【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1 ， CD的中点，求证：平面ADE⊥平面A1FD1 ．

Answer 1

【答案】证明：因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，

所以AD⊥平面DCC1D1，

又D1F平面DCC1D1，所以AD⊥D1F，

取AB中点G，

连接A1G、FG，因为F为CD中点，

所以FG AD A1D1，所以A1G∥D1F，

因为E是BB1中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，

所以∠AA1G=∠HAG，∠AHA1=90°，

即A1G⊥AE，所以D1F⊥AE，因为AD∩AE=A，

所以D1F⊥平面ADE，

所以D1F平面A1FD1，

所以平面A1FD1⊥平面ADE．

【解析】由已知得AD⊥平面DCC1D1，从而AD⊥D1F，取AB中点G，由已知条件推导出A1G⊥AE，从而D1F⊥AE，进而D1F⊥平面ADE，由此能证明平面A1FD1⊥平面ADE．