Question

【题目】已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时， ． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）运用函数单调性定义证明f（x）在定义域R上是增函数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设x∈（﹣∞，0）， 则﹣x∈（0，+∞），
∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=
∴f（﹣x）= ，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即f（﹣x）= =﹣f（x），
∴f（x）=﹣ ，x∈（﹣∞，0），
∴f（x）= ．
（Ⅱ）∵f（x）是R上的奇函数，
∴只需要证明函数f（x）在[0，+∞）上单调递增即可，
设x2＞x1≥0，
则 ，
∵x2＞x1≥0，
∴x2﹣x1＞0， ，
即 ＞0，
∴f（x2）＞f（x1），即函数在[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在定义域R上是增函数
【解析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的性质即可求f（x）的解析式；（Ⅱ）根据函数单调性定义证明f（x）在定义域R上是增函数．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．