Question

【题目】如图，多面体中，四边形为平行四边形，其中，，，等边所在平面与平面垂直，平面，且.

（Ⅰ）点在棱上，且，为的重心，求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）如图，在棱上取点，使得；连接并延长，交于点.

则在中，又，

所以，

又四边形为平行四边形，

所以，

所以. -----------------2分

在中，为重心，

所以，

又，

所以.

又因为，，

所以平面平面.

又平面，

所以平面. -----------------------------5分

（Ⅱ）在中，，，，

由余弦定理可得

.

所以.

取的中点，连接、.

在中，，

所以，且.

又因为平面平面，平面平面，

所以平面. -----------------------------7分

又中，，，

所以，且.

如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，.

则，，，.

设平面的法向量为，

则由，可得

整理得.

令，则，.

所以为平面的一个法向量. ----------------------------9分

设平面的法向量为，

则由，可得.

整理得.

令，则，.

所以为平面的一个法向量. -----------------------------10分

所以.

-----------------------------11分

设平面与平面所成锐二面角为，则. -------12分

【命题意图】本题考查空间中线面平行的证明、空间二面角的求解以及向量的基本运算等，考查基本的空间想象能力和逻辑推理能力、运算能力等.